마방진이란
표준국어대사전은 마방진(魔方陣)을 “자연수를 정사각형 모양으로 나열하여 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 수의 합이 전부 같아지게 만든 것”으로 풀이하고, 같은 뜻의 말로 방진을 함께 올려 두었습니다. 이 페이지는 그중 1부터 n²까지의 수를 한 번씩 쓰는 n×n 마방진을 다룹니다.
수를 늘어놓아 합을 맞추는 놀이는 오래전부터 이어졌습니다. 조선 시대 수학자 최석정의 『구수략』에는 정사각형이 아닌 거북 등 모양의 수 배열인 지수귀문도가 실려 있습니다. 각 줄에 같은 기호가 한 번씩만 들어가는 배열은 라틴 방진이라고 하며, 여기에 3×3 묶음 조건을 더한 것이 스도쿠입니다.
마방 상수 구하기
마방진의 한 줄 합을 마방 상수라고 합니다. 1부터 n²까지 모두 더하면 n²(n²+1)/2이고, 이 수들이 가로 n줄에 똑같이 나뉘므로 한 줄의 합은 n(n²+1)/2입니다. 3×3이면 3×10÷2 = 15, 4×4이면 4×17÷2 = 34입니다.
| 크기 | 쓰는 수 | 마방 상수 |
|---|---|---|
| 3×3 | 1~9 | 15 |
| 4×4 | 1~16 | 34 |
| 5×5 | 1~25 | 65 |
| 6×6 | 1~36 | 111 |
| 7×7 | 1~49 | 175 |
| 8×8 | 1~64 | 260 |
| 9×9 | 1~81 | 369 |
| 10×10 | 1~100 | 505 |
| 11×11 | 1~121 | 671 |
| 12×12 | 1~144 | 870 |
1~9로 만드는 3×3 마방진
1~9를 쓰는 3×3 마방진은 가운데가 반드시 5입니다. 가운데 칸을 지나는 네 줄(가로·세로·두 대각선)의 합은 4 × 15 = 60인데, 이 네 줄은 가운데 칸을 네 번, 나머지 여덟 칸을 한 번씩 세므로 60 = 45 + 가운데 수 × 3이 되어 가운데 수는 5입니다. 9개의 수를 늘어놓는 362,880가지를 모두 확인하면 1~9로 만드는 3×3 마방진은 8개뿐이고, 모두 아래 하나를 돌리거나 뒤집은 모양입니다.
| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
마방진 만드는 방법
이 도구는 한 변의 칸 수에 따라 세 가지 방법으로 마방진을 만듭니다.
- 홀수(3·5·7…): 맨 윗줄 가운데에 1을 놓고, 다음 수는 오른쪽 위 칸에 놓습니다. 판 밖으로 나가면 반대편 끝으로 돌아오고, 놓을 칸이 이미 차 있으면 직전에 놓은 칸의 바로 아래에 놓습니다. 위의 3×3이 이 방법으로 만든 것입니다.
- 4의 배수(4·8·12): 1부터 n²까지 왼쪽 위에서부터 차례로 채운 뒤, 판을 4×4 묶음으로 나눠 묶음마다 두 대각선 위에 놓인 칸의 수 x를 n²+1−x로 바꿉니다. 4×4라면 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 자리가 바뀌어 첫 줄이 16 · 2 · 3 · 13가 됩니다.
- 4로 나누어떨어지지 않는 짝수(6·10): Strachey 방식을 씁니다. 한 변이 절반(3·5)인 홀수 마방진을 왼쪽 위, 오른쪽 아래, 오른쪽 위, 왼쪽 아래 사분면에 차례로 놓되 각각 0, n²/4, n²/2, 3n²/4를 더합니다. 그다음 왼쪽의 정해진 열과 오른쪽의 정해진 열에서 위·아래 사분면 칸을 맞바꾸고, 가운데 줄은 바꾸는 열을 한 칸 옮깁니다.
모양 바꾸기
마방진 전체를 90°씩 돌리거나 뒤집어도 가로줄은 세로줄로, 대각선은 대각선으로 옮겨 가므로 마방진입니다. 모든 수 x를 n²+1−x로 바꾸는 보수도 줄마다 합이 n(n²+1) − 마방 상수 = 마방 상수로 그대로라서 마방진이 유지됩니다.
빈칸 문제를 만들 때는 여기에 더해, 가운데를 기준으로 짝을 이루는 행끼리 바꾸면서 같은 짝의 열도 똑같이 바꿉니다. 행과 열을 함께 바꾸면 대각선 칸이 대각선에 남기 때문입니다. 행이나 열만 임의로 바꾸면 가로·세로 합은 그대로여도 대각선 합이 달라져 마방진이 깨질 수 있습니다.
빈칸 문제와 문제지
빈칸 풀기는 3×3·4×4·5×5 마방진에서 일부 칸을 비운 문제입니다. 3×3은 빈칸 3~5개, 4×4는 5~9개, 5×5는 8~14개 가운데에서 고릅니다. 빈칸에 수를 넣으면 줄마다 합이 바로 보이고, 1~n² 밖의 수나 이미 쓴 수는 빨갛게 표시됩니다. 보이는 수는 그대로 두고 모든 줄의 합이 같아지면 문제를 만들 때 쓴 답과 달라도 정답입니다.
문제지 인쇄는 같은 방식으로 만든 문제를 A4 한 장에 6문제씩 그리고, 원하면 답지를 뒤에 붙입니다. 덧셈·뺄셈 같은 계산 연습이 필요하면 연산 학습지를 함께 쓰면 됩니다.
자주 묻는 질문
마방진이 무엇인가요?▾
표준국어대사전은 마방진을 “자연수를 정사각형 모양으로 나열하여 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 수의 합이 전부 같아지게 만든 것”으로 풀이합니다. 이 페이지는 그중 1부터 n²까지의 수를 한 번씩 쓰는 n×n 마방진을 다룹니다.
3×3 마방진의 합은 왜 15인가요?▾
1~9를 모두 더하면 45이고, 이 수들이 가로 세 줄에 나뉘어 들어가므로 한 줄의 합은 45 ÷ 3 = 15입니다. 일반적으로 n×n이면 1~n²의 합 n²(n²+1)/2를 n으로 나눈 n(n²+1)/2가 됩니다.
1~9로 만드는 3×3 마방진은 왜 가운데가 5인가요?▾
가운데 칸을 지나는 줄은 가로·세로·두 대각선의 네 줄이고, 합은 4 × 15 = 60입니다. 이 네 줄은 가운데 칸을 네 번, 나머지 여덟 칸을 한 번씩 세므로 60 = 45 + 가운데 수 × 3, 곧 가운데 수는 5입니다.
2×2 마방진은 없나요?▾
1~4로는 만들 수 없습니다. 두 가로줄과 두 세로줄의 합이 모두 5여야 하는데, 위 왼쪽을 a, 위 오른쪽을 b, 아래 왼쪽을 c라 하면 a+b = 5이고 a+c = 5라서 b = c가 됩니다. 같은 수를 두 번 쓸 수 없으므로 불가능합니다.
빈칸 문제의 답이 여러 개일 수 있나요?▾
있습니다. 이 도구는 문제를 만들 때 쓴 답과 똑같지 않아도, 보이는 수는 그대로 두고 1~n²를 한 번씩 써서 가로·세로·대각선의 합이 모두 같으면 정답으로 봅니다. 문제지의 답지도 만든 답 하나를 보여 줍니다.
문제지는 어떻게 인쇄하나요?▾
문제지 인쇄에서 크기(3×3·4×4·5×5)와 빈칸 수, 문제 수(6·12문제)를 고르고 A4로 인쇄를 누릅니다. A4 한 장에 6문제가 들어가고, 답지를 고르면 문제지 뒤에 같은 순서로 답지가 이어집니다. 인쇄 창의 배율은 100%로 둡니다.
입력한 수나 문제가 저장되나요?▾
저장하지 않습니다. 마방진과 문제는 이 브라우저 안에서 만들고 서버로 아무것도 보내지 않습니다. 페이지를 닫으면 넣은 수가 사라집니다.
뜻풀이는 국립국어원 표준국어대사전, 최석정 『구수략』의 지수귀문도는 『수학교육논문집』 24권 1호(2010) 「정사각형 형태가 아닌 마방진에 대한 고찰」을 따랐습니다. 마방 상수와 3×3 마방진의 성질은 본문의 계산으로 확인할 수 있습니다.