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확률 계산기 사용법
확률 계산기는 같은 확률의 시도를 여러 번 되풀이할 때 생기는 확률과, 고르고 늘어놓는 경우의 수를 계산하는 도구입니다. 게임 뽑기·강화처럼 확률이 정해진 일을 몇 번 해야 하는지, 시험 문제를 찍어서 몇 개 맞힐 수 있는지, 번호를 고르는 방법이 몇 가지인지 같은 질문에 답합니다. 계산 종류는 네 가지입니다.
- 적어도 한 번 — 확률 p를 n번 시도해 한 번 이상 일어날 확률 1 − (1 − p)n을 구하고, 거꾸로 목표 확률(예: 90%)에 닿는 최소 횟수를 구합니다.
- 이항분포 — n번 중 정확히 k번, k번 이하, k번 이상 성공할 확률과 k 주변의 확률표를 보여 줍니다.
- 순열·조합 — n개에서 r개를 고르는 순열, 조합, 중복순열, 중복조합의 수를 한 번에 보여 줍니다.
- 기댓값 — 첫 성공까지 평균 시도 횟수 1/p와 50%·90%·99%가 성공하는 횟수를 보여 주고, 1회 비용을 넣으면 평균 비용도 계산합니다.
확률은 입력 칸 옆 단위 버튼으로 %와 소수·분수 가운데 골라 넣습니다. 1%는 1(%), 0.01, 1/100이 모두 같은 값이고, 입력 칸 아래에 같은 값을 세 가지 표기로 다시 보여 줍니다. 결과는 %와 “약 1/N”으로 함께 나타내며, 계산은 브라우저 안에서만 이뤄지고 입력값은 서버로 전송·저장되지 않습니다.
확률을 나타내는 방법 — %, 소수, 분수, 1/N
확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 0과 1 사이의 수로 나타낸 것입니다. 0은 절대 일어나지 않음, 1은 반드시 일어남을 뜻합니다. 같은 확률을 여러 방식으로 쓸 수 있는데, 소수에 100을 곱하면 %가 되고 분수의 분모는 “몇 번에 한 번”을 뜻합니다.
| % | 소수 | 분수·약 1/N |
|---|---|---|
| 50% | 0.5 | 1/2 |
| 16.67% | 0.1667 | 1/6 (주사위 한 면) |
| 1% | 0.01 | 1/100 |
| 0.3% | 0.003 | 3/1,000 ≈ 1/333 |
| 0.00001228% | 0.0000001228 | 1/8,145,060 |
“약 1/N”은 확률이 작을수록 감이 잘 옵니다. 0.3%는 “약 333번에 한 번”이고, 63.4%는 약 1/1.58로 “1.58번에 한 번꼴”입니다. 다만 1/N은 평균적인 빈도를 말할 뿐이라 N번 안에 반드시 한 번 일어난다는 뜻은 아닙니다. 이 차이는 아래 “적어도 한 번”에서 계산합니다.
독립시행과 “적어도 한 번”의 확률
앞의 결과가 뒤의 확률에 영향을 주지 않는 시도를 독립시행이라고 합니다. 동전 던지기, 주사위 던지기, 매번 확률이 같은 뽑기가 여기에 해당합니다. 성공 확률이 p인 독립시행을 n번 할 때 n번 모두 실패할 확률은 (1 − p)n이므로, 적어도 한 번 성공할 확률은 그 나머지입니다.
적어도 한 번 = 1 − (1 − p)n
1% 뽑기 100번: 1 − 0.99100 = 1 − 0.366… ≈ 63.4%
확률 1%를 100번 하면 100%가 될 것 같지만 실제로는 약 63.4%이고, 36.6%는 100번을 해도 한 번도 나오지 않습니다. 확률을 횟수만큼 곱하거나 더하는 계산(1% × 100)은 같은 성공을 여러 번 세기 때문에 틀립니다. 주사위를 4번 던져 6이 한 번 이상 나올 확률도 4/6가 아니라 1 − (5/6)4 ≈ 51.77%입니다.
| 시도 횟수 | 확률 0.5% | 확률 1% | 확률 3% |
|---|---|---|---|
| 10번 | 4.89% | 9.56% | 26.3% |
| 30번 | 14% | 26% | 59.9% |
| 50번 | 22.2% | 39.5% | 78.2% |
| 100번 | 39.4% | 63.4% | 95.24% |
| 200번 | 63.3% | 86.6% | 99.774% |
| 300번 | 77.8% | 95.1% | 99.9892% |
거꾸로 원하는 확률에 닿으려면 몇 번이 필요한지도 같은 식에서 나옵니다. 1 − (1 − p)n ≥ 목표를 n에 대해 풀면 n ≥ ln(1 − 목표) ÷ ln(1 − p)이고, 이 값을 올림한 정수가 최소 횟수입니다. 확률 1%라면 절반(50%)에 닿는 데 69번(이때 50.02%), 90%에 230번, 99%에 459번이 필요합니다.
| 목표 | 확률 0.5% | 확률 1% | 확률 3% |
|---|---|---|---|
| 50% | 139번 | 69번 | 23번 |
| 90% | 460번 | 230번 | 76번 |
| 99% | 919번 | 459번 | 152번 |
이 계산은 매번 확률이 같고 서로 독립이라는 가정 위에 있습니다. 일정 횟수에서 반드시 주는 천장, 실패할수록 확률이 오르는 보정, 뽑을 때마다 남은 개수가 줄어드는 상자 뽑기처럼 확률이 바뀌는 규칙이 있다면 결과가 달라집니다.
평균 시도 횟수와 기댓값
기댓값은 같은 시도를 아주 많이 되풀이했을 때 평균적으로 얻는 값입니다. 성공 확률이 p인 시도를 처음 성공할 때까지 되풀이하면, 필요한 시도 횟수는 기하분포를 따르고 그 평균은 1/p입니다. 확률 1%라면 평균 100번, 0.3%라면 평균 333.33번입니다. 시도 횟수의 분산은 (1 − p)/p²이라 확률이 작을수록 사람마다 걸리는 횟수가 크게 갈립니다.
평균이 100번이라고 해서 100번 안에 반드시 나오는 것은 아닙니다. 위에서 계산했듯 100번 안에 나올 확률은 63.4%이고, 절반이 성공하는 횟수(중앙값)는 평균보다 적은 69번입니다. 대신 운이 나쁜 쪽으로 길게 늘어지는 경우가 있어 평균이 중앙값보다 커집니다. 계산기의 기댓값 탭은 평균과 함께 50%·90%·99%가 성공하는 횟수를 보여 주고, 1회 비용을 넣으면 평균 비용과 횟수별 비용을 계산합니다.
기하분포에는 무기억성이 있습니다. 이미 50번 실패했어도 앞으로 남은 평균 시도 횟수는 다시 100번입니다. 지난 실패가 다음 시도의 확률을 바꾸지 않기 때문입니다.
이항분포 — n번 중 k번
성공·실패 두 결과만 있는 독립시행을 베르누이 시행이라고 하고, 성공 확률이 p인 베르누이 시행을 n번 했을 때 성공 횟수의 분포를 이항분포라고 합니다. n번 중 정확히 k번 성공할 확률은 성공할 k번의 자리를 고르는 조합의 수에 각 경우의 확률을 곱해 구합니다.
P(X = k) = nCk × pk × (1 − p)n−k
평균 = np, 분산 = np(1 − p)
주사위를 10번 던져 6이 정확히 2번 나올 확률은 10C2 × (1/6)2 × (5/6)8 = 45 × 58 ÷ 610 ≈ 29.07%입니다. 6이 나오는 횟수의 평균은 10 × 1/6 ≈ 1.67번입니다.
| 6이 나온 횟수 | 정확히 | 이 횟수 이상 |
|---|---|---|
| 0번 | 16.15% | 100% |
| 1번 | 32.3% | 83.85% |
| 2번 | 29.07% | 51.55% |
| 3번 | 15.5% | 22.48% |
| 4번 | 5.427% | 6.973% |
| 5번 | 1.302% | 1.546% |
“이하”는 그 횟수를 포함하고 “미만”은 포함하지 않습니다. “k번 이상”은 1에서 “k번 미만”을 뺀 값과 같아서, 계산기는 정확히·이하·이상과 함께 미만·초과도 보여 줍니다.
순열과 조합
순열은 서로 다른 n개에서 r개를 골라 순서대로 늘어놓는 경우의 수, 조합은 순서 없이 r개를 고르는 경우의 수입니다. 같은 것을 여러 번 고를 수 있으면 각각 중복순열, 중복조합이 됩니다. 고등학교 ‘확률과 통계’에서는 순열을 nPr, 조합을 nCr, 중복순열을 nΠr, 중복조합을 nHr로 씁니다.
| 종류 | 공식과 예 |
|---|---|
| 순열순서 O · 중복 X | nPr = n! / (n − r)!10명 가운데 반장과 부반장을 뽑는 방법10P2 = 10 × 9 = 90 |
| 조합순서 X · 중복 X | nCr = n! / (r! (n − r)!)1~45 가운데 번호 6개를 고르는 방법(로또 6/45)45C6 = (45 × 44 × … × 40) ÷ 6! = 8,145,060 |
| 중복순열순서 O · 중복 O | nΠr = nr숫자 0~9로 만드는 4자리 비밀번호10Π4 = 104 = 10,000 |
| 중복조합순서 X · 중복 O | nHr = n+r−1Cr사탕 3종류 가운데 5개를 고르는 방법(같은 종류 여러 개 가능)3H5 = 7C5 = 21 |
순서를 따지는지는 “고른 것의 자리를 바꾸면 다른 결과인가”로 판단합니다. 반장·부반장은 두 사람의 역할을 바꾸면 다른 결과라서 순열이고, 대표 두 명은 바꿔도 같아서 조합입니다. 조합은 순열을 같은 묶음의 배열 수 r!로 나눈 값이라 nCr = nPr ÷ r!입니다.
로또 6/45는 1~45에서 번호 6개를 순서 없이 고르므로 경우의 수가 45C6 = 8,145,060이고, 한 게임의 1등 확률은 1/8,145,060(0.00001228%)입니다. 5게임을 서로 다른 번호로 사면 5/8,145,060가 됩니다. 2~5등 조건과 등수별 확률은 로또 번호 생성기에 정리했습니다.
중복조합은 “● r개와 칸막이 n − 1개를 늘어놓는 방법”으로 바꿔 세면 이해하기 쉽습니다. 사탕 3종류에서 5개를 고를 때 |●●●|●●는 첫째 0개, 둘째 3개, 셋째 2개를 뜻하고, 7자리 가운데 ●이 들어갈 5자리를 고르는 방법이므로 3H5 = 7C5 = 21입니다.
도박사의 오류
도박사의 오류는 서로 독립인 사건이 서로의 확률에 영향을 준다고 착각하는 것입니다. 동전 던지기에서 앞면이 5번 연속 나왔으니 이번에는 뒷면이 나올 차례라고 생각하는 것이 대표적인 예입니다. 동전에는 기억이 없어서 여섯 번째에 앞면이 나올 확률도 1/2입니다.
헷갈리는 이유는 두 질문이 섞이기 때문입니다. 아직 던지기 전에 “앞면이 6번 연속 나올 확률”을 물으면 (1/2)6 = 1/64(1.563%)로 작습니다. 그러나 이미 5번 연속 앞면이 나온 뒤라면 그 일(3.125%)은 이미 일어났고, 남은 질문은 “다음 한 번이 앞면일 확률” 1/2뿐입니다. 뽑기에서 오래 실패했으니 곧 나온다는 기대, 복권을 여러 번 떨어졌으니 다음에는 당첨될 것이라는 기대도 같은 오류입니다.
반대로 시도 횟수가 아주 많아지면 실제 비율이 이론 확률에 가까워집니다(큰 수의 법칙). 이것은 앞의 치우침이 뒤에서 “보정”되기 때문이 아니라, 횟수가 늘수록 초반의 치우침이 전체에서 차지하는 비중이 작아지기 때문입니다.
계산 방법과 정밀도
계산기는 근사식 없이 공식을 그대로 계산합니다. 확률 입력은 0.1처럼 이진수로 정확히 나타낼 수 없는 값도 분수(정확한 유리수)로 읽어 둡니다. 계산 방법과 결과 표시는 다음과 같습니다.
- 적어도 한 번 — 1 − (1 − p)n을 로그로 계산해 p가 아주 작거나 n이 아주 커도 1과의 차이가 사라지지 않습니다. 필요한 횟수는 로그로 후보를 구한 뒤, 수가 감당할 만하면 정수 거듭제곱 비교로 경계를 한 번 더 확인합니다.
- 이항분포 — 각 확률을 로그로 계산하고(안장점 전개), 누적확률은 최빈값에서 먼 쪽 꼬리를 직접 더해 아주 작은 꼬리 확률도 정밀하게 구합니다. 시행 횟수는 10억 번까지 넣을 수 있습니다.
- 순열·조합 — 결과가 3,000자리 이하이면 BigInt로 모든 자리를 정확히 계산하고, 그보다 크면 스털링 급수로 구한 로그 값으로 “≈ a × 10b” 꼴의 근삿값을 보여 줍니다.
- 표시 — 0.000001% 미만의 확률은 과학 표기로, 99.9999%를 넘는 확률은 “99.9999% 초과”로 쓰고 나머지 확률(1 − P)을 따로 보여 줍니다.
적어도 한 번·이항분포의 결과는 정확한 분수 계산과 비교하는 테스트에서 상대오차 10−12 이하를 확인했습니다. 화면에는 유효숫자 4~6자리로 반올림해 보여 줍니다.
자주 묻는 질문
확률 1%짜리를 100번 하면 반드시 한 번은 나오나요?▾
아닙니다. 매번 확률이 1%로 같고 서로 영향을 주지 않는다면 100번 안에 적어도 한 번 나올 확률은 1 − 0.99¹⁰⁰ ≈ 63.4%입니다. 나머지 36.6%는 100번을 해도 한 번도 나오지 않습니다. 1% × 100 = 100%처럼 확률을 곱하거나 더하면 안 되고, "한 번도 안 나올 확률"을 구해 1에서 빼야 합니다. 90%가 되려면 230번, 99%가 되려면 459번이 필요합니다.
순열과 조합은 어떻게 구분하나요?▾
고른 것의 순서가 결과를 바꾸면 순열, 바꾸지 않으면 조합입니다. 10명 중 반장·부반장을 뽑는 것은 같은 두 사람이라도 역할이 바뀌면 다른 결과라서 순열(10P2 = 90)이고, 대표 2명을 뽑는 것은 순서가 없어 조합(10C2 = 45)입니다. 같은 것을 여러 번 고를 수 있으면 중복순열·중복조합을 씁니다.
중복조합 nHr은 왜 (n+r−1)Cr로 계산하나요?▾
n종류에서 r개를 고르는 것을 ● r개와 칸막이 | (n − 1)개를 한 줄로 늘어놓는 것으로 바꿔 생각합니다. 칸막이로 나뉜 칸이 각 종류이고 칸 안의 ● 수가 그 종류를 고른 개수입니다. 3종류에서 5개를 고를 때 |●●●|●●는 첫째 0개, 둘째 3개, 셋째 2개입니다. 전체 n + r − 1자리 가운데 ●이 들어갈 r자리를 고르는 방법이므로 (n + r − 1)Cr입니다.
이항분포의 "이하"와 "미만", "이상"과 "초과"는 어떻게 다른가요?▾
k번 이하는 k번을 포함하고(0, 1, …, k번), k번 미만은 k번을 뺍니다(0, 1, …, k − 1번). 마찬가지로 k번 이상은 k번을 포함하고 초과는 뺍니다. 그래서 "k번 이하"와 "k번 초과"를 더하면 100%, "k번 이상"과 "k번 미만"을 더해도 100%입니다. 계산기는 다섯 가지를 함께 보여 줍니다.
평균 시도 횟수만큼 실패했으면 다음에는 나올 확률이 높아지나요?▾
아닙니다. 매번 독립인 시도라면 이전에 몇 번 실패했든 다음 시도의 확률은 그대로이고, 앞으로 남은 평균 시도 횟수도 다시 1/p입니다. 이를 기하분포의 무기억성이라고 합니다. 확률 1%의 평균 시도 횟수는 100번이지만 100번을 해도 36.6%는 한 번도 나오지 않습니다. 다만 일정 횟수에서 반드시 주는 천장처럼 확률이 바뀌는 규칙이 있다면 이 계산이 맞지 않습니다.
아주 작은 확률이나 아주 큰 수도 정확하게 계산되나요?▾
확률 입력은 분수 그대로(정확한 유리수) 읽고, 적어도 한 번·이항분포는 로그로 계산해 10⁻¹⁰⁰⁰처럼 작은 확률도 0으로 뭉개지지 않습니다. 정규근사 같은 근사식은 쓰지 않고, 정확한 분수 계산과 비교하는 테스트에서 상대오차 10⁻¹² 이하를 확인했습니다. 순열·조합은 결과가 3,000자리 이하이면 BigInt로 모든 자리를 정확히 구하고, 그보다 크면 로그로 구한 근삿값에 ≈를 붙여 보여 줍니다.
확률은 %로 넣어야 하나요, 소수로 넣어야 하나요?▾
둘 다 됩니다. 입력 칸 옆 단위 버튼으로 %와 소수·분수를 고르고, 숫자 끝에 %를 붙이면 단위와 관계없이 퍼센트로 읽습니다. 1%는 1(%), 0.01, 1/100 어느 것으로 넣어도 같고, 아주 작은 확률은 1e-6처럼 지수 표기로도 넣을 수 있습니다. 입력 칸 아래에 같은 값을 %·소수·분수로 다시 보여 주므로 잘못 넣었는지 확인할 수 있습니다.
입력한 값은 저장되나요?▾
아니요. 모든 계산은 브라우저 안에서만 처리되며 입력한 확률과 결과는 서버로 전송되거나 저장되지 않습니다.
용어와 공식은 위키백과 “이항 분포”·“중복조합”·“순열”·“도박사의 오류”와 영어 위키백과 “Geometric distribution”을, 중복순열·중복조합 기호는 지학사 고등학교 수학 참고서 자료를, 로또 6/45 규칙과 1등 확률은 동행복권 로또6/45 소개를 참고했습니다(2026년 10월 확인). 본문의 수치는 계산기와 같은 함수로 계산한 값이며, 입력값은 브라우저 안에서만 처리되고 서버로 전송·저장되지 않습니다.